計算情報学２ 鈴木泰博

第8回

概要 微分方程式，偏微分方程式などの，いわゆる数値解析は「計算情報学１」の講義で扱うので，最終回である今回は，このコースの前半に行った離散時間・離散事象の確率過程モデルと，前回にみなさんが，手を動かして勉強したオイラー法との関係に触れて終わることにする．

注意:このコースでの演習の多くには，「唯一の模範回答」はないと思ってほしい．もっとも数学の演習問題は正答が存在するが．前回の演習，これから行ってもらう演習ともに，３０名の受講者がいれば，３０通りの回答があってよい（間違っていればハナシは別だが..）．

課題のすすめかた：今回の課題は１問づつNUCTにいって回答するとは違った方法をとる．

  1. まず，テキストエディタ（WORD, メモ帳，emacs, vi, atom.. なんでもよい）をひらく

  2. 課題1から順に回答していく．資料を順に読み進めていくと，課題が出てくるので，その回答を書き足していく

  3. すべてが終わったら，NUCTから添付ファイルで提出する．

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  4. 締め切りは，原則として翌週の水曜日である（例外もある）．締め切りには注意する．締め切りを過ぎたら提出できない．９割以上の受講生の方々はきちんと，フォーマットも締め切りも守っている．

  5. 締め切りが過ぎたら提出できない．課題はすべて評価しC以上であればカウントする．Fの場合にはカウントにならない．

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このコースの「道のり」を再度振り返ってみよう．このコースでのテーマは「力学系」だった．力学系とはなにか？まだ覚えているだろうか？

ざっくりいって「時間とともに，状態が変化する系」

が力学系だったですね．

そして，最初は「おはじき」をつかうような，ひじょうーに簡単なモデルをつくってみて，コインを投げたりしながら，しみゅれーしょん，をしてみたりした．おもむろにコインやサイコロを投げていた頃を思い出して欲しい．

「そこに，関数はありましたか？」

「いいえ，ありません」

「関数がない？では，あなたはどんな”世界”にいたのですか？」

「さぁ．．わかりません」

そうなんです．コインやサイコロ投げてシミュレーションしちゃってるってのは，「自分がどっこにいるのか，さっっぱりわからんちん」だからなわけ．もし，わかってんだったら，コインやサイコロ投げずに，ノートに

と書いておしまい．あとは初期値さえきまれば，すごく大雑把な言い方ではあるが，月にだって行ける．関数がない世界とは”無政府状態”みたいなものなので，ルール力学系として

と定義されていても，「そこにがあろうとも， しか適用できないのでつ！」と，の数をひたすらに，指数的に爆発させていったとしても．．まぁいいわけです．あとは，これは「生命の起源のモデルだ」とか，「生態系のモデルになっていて．．」と言って押し通してしまうわけですね（私がかつて行っていた研究はこんなかんじ）．

これはこれでよい．楽しいし．

でも，この無政府状態みたいな世界にいると，厳しくも美しい秩序がある数学の世界や，合理的な手法の宝庫である物理学の世界と，まず繋がることができないわけです．なんか，ポツん．．といるかんじ．自分の世界を数物の世界から見返すなんてことができないので「自分がやっていることって，この世界から出るとどうなってんだろう？」ということも，わからんちん. 実験をやっているとか，フィールドワークをやっているとか（まぁフィールドワークもなかなか，情報量を落とすのが難しくて独我的になっちゃうんだけどね），なんか，自分の世界とリアル，が結びついていたらいいんだけど．．

無政府状態のルール力学系の世界に，少しでも秩序を入れるための「法」それが．．．何でしたっけ？

ルールの適用方法

これが「法」．このコースで扱ったのは２つ，

  1. 逐次＋ランダム（コインやサイコロ）：つまり「非決定的」
  2. 可能な限り並列（maximally parallel)：つまり「決定的」

であった．決定的を「決定論的」を書いていた気がします．．すいません．英語だと，non-deterministicとdeterministicにになります．

ルール力学系を「離散・有限」で並列にするにはムリがあった．そこで，連続・無限に拡張をしたわけだ．ここがいささか「乱暴」なところだった．オイラー法を前回にやって準備ができたので，少しばかり，このあたりを補足しておわることしよう．

「離散・有限」系から「連続・無限」系への変換

つかうルール力学系は，以前に例題につかった　{}とする．うさぎとキツネのモデルだ．まず「離散・有限」系（非決定的）からはじめるて，それを「連続・無限」の系（決定的）にしていくだけだが，これをしっかりやるとすると，いろいろ大変なので，天下り的に以下を認めて欲しい

「ルール力学系の適用確率は，ルールの左辺の積に比例する．比例定数をそれぞれとする．」

これはなにかといえば... 適用確率をランダムにするのではなく，重みをつける，ということだ．完全ににランダムだとと３つ目があるサイコロを振ることになるが，そのサイコロを”いかさまサイコロ”にするわけだ．しかも，いかさま，の度合いが時間とともに変化してしまうような，サイコロだ．

この場合は確率が時間とともに変化するでしょ．こういった方程式を「確率微分方程式」といいます．

「え，なんか急に出てきたな．なんでまた確率微分方程式なんですか？」

「変位の時間変化は？」

「速度です」

「どうやって求める？」

「そりゃ，変位を微分すりゃいいんです」

「えっと，も一度聞くけど．．速度ってなんだっけ？」

「変位の時間変化です．だって微分するんだからっ！」

「じゃあ，確率の時間変化は？」

「あれ，，確率微分．．．になっちゃいますね．．」

たとえばはウサギの羽数なので，の適用確率は，ウサギの羽数にをかけたものになる．同様にはとなる（r_3$は類推できるでしょ）．

すると各々のルールの適用確率は，

となる．

つぎに， は記号のままだと扱いにくいので，ベクトルにしてしまおう．ではが１つ増えるので=(1, 0)とする．以下この要領でいくと，となる．

これで，いかさまサイコロ，をつかって「うさぎとキツネ」のモデルを数理モデル化することができた．

ここまでは，離散・有限の系である．さて，ここからこの系を「連続・無限」の系へと変化する！といってもね，そんなタイソーなもんじゃなくて，中高の算数で十分．

この系は「非決定系」なので，これを，決定系にしたい．誰でもおもいつく方法は？

「え，平均とればいいんじゃないの？」

「はい，その通り」

「確率の場合の平均ってなんでしたっけ？」

「期待値！」

「其の通り」

というわけで，期待値をとってしまえば，決定論系になって連続・無限系になってしまうのである．あら簡単．

はい．これで，期待値が求まりました...つまり，「もう確率系じゃありません」それに，離散でもありません．だって有理数（分数）を掛けてますからね．

これで，めでたく，離散・有限の数理モデルを，連続・無限の数理モデルに変換することができました．得られた方程式は，

 

となります．

ここで とすると，

となります．

この連立方程式は，どっこにも「乱数」がありませんっ！．これが私がたちがもとめていた関数．．方程式なのです！

「わーい！これで，エクセルでも計算できる！」

....ってわけには，ちゃんとやるとすると，いかないんですよ．だっては変化してしまいますから，これは定数ではないのです．あらら．．でも，がっかりする必要はありません．私たちは，無限の世界に移住してきたので「は無限」といったってよいわけです．まぁ，うさぎやキツネが無限にいるというのも，あまりリアリスティックじゃないので，「十分にたくさんいる」，とかゆってもOKなわけです．

「で，どのぐらいたくさんいるの？」

ここで，この質問になんと答えるかが大変に重要です．ここでは，おもむろに，

「少々変動しても，の値の変動がよりも小さいぐらいに，たくさんいる」

と答えるのです．そしてこう付け加えます，

「そして，は十分に小さいとします」

つまり．．．分母が100,000のときにが1,2ぐらい動いたっての変化は程度でしかありません(). 一方で分母が5のときには，が1動いたっては大きく変化してしまいます．わたしたちは無限の世界にいるので，いくらでもは大盤振る舞いができるので，が十分におおきく時間 内ではその変化は無視できるので定数とする．としてしまえば，この方程式はさらにシンプルになって，

となります．ずいぶん，すっきりした方程式が得られました．これで，もう簡単に計算できますね．

課題１　上の方程式のシミュレーションを行いなさい．係数や初期値はいろいろ試してみてください．

ヒント：この方程式は．簡単に振動します．なので，振動させてみてください．実際には初期ベクトル，=（うさぎの羽数, キツネの頭数）にを足していくことになります．

つまりとなるわけね..

口調の揺れが激しいが．．気にせずに先へすすむとしよう．

さて，私たちは非決定系から決定系を得ることができた．なぜうまくいったのか？それは無法状態だったルール力学系の世界で「法」を定めたからだった．それによって，方程式が浮かび上がってきた．これまでは，離散・有限の世界にいて，えっちらおっちらと，連続・無限の世界に渡ってきたのだが，最初っから，連続・無限の世界にいたらどうなるのだろう？「もし，私たちが決定系の世界の住人だったら？」

モデルは同じ「うさぎとキツネ」であって，

である．さて，これを決定系で数理モデル化するとどうなるか？2変数だから連立微分方程式になるわけで...どう考えるかというと，以前に練習したけど「増減のしかた」を調べればよろしい．の変化はどうなってますか？で増えて，で減るから，

となるね．同様にしては

となるね．これで，あっという間に決定論の数理モデルが得られた．

課題2 この連立微分方程式をオイラー法でシミュレーションせよ．係数は初期値は任意．

長いヒント：この方程式は，容易に振動する．なので，振動させてみてほしい．まず，オイラー法の復習をすると．．．

kj7-1

課題２の場合は

となるわけで，, となる．．．と．あとは，オイラー法のスキームに放り込んでおしまい．．っと．

まずについてはとなって， についてはとなるわけね...ここまで，書き下してくると，さすがに気がつくでしょ？ ひきつづき課題２をやってください．

課題２が終わって．．．

さて，「なぜこうなったか」わかりますか？

連続・無限の世界で「オイラー法」をつかうってことの意味は...まず，時間をとかいって離散的に「切り刻む」こと，すると連続だった区間が初期値と「点列」になって離散化されて，しかも計算を永遠に行うわけでなくて有限時間で止めるので，有限個の点列になってしまうわけです．

つまり，オイラー法をやってしまう．．．ということは，本来は連続・無限であった世界から離れて，離散・有限の世界へと向かうことなのです．この方向にずんんずんと進んでいくと，離散・有限の世界からえっちらおっちらとやってくる，先ほどの私たち，と出会ってしまうわけですね．

ルール力学系を適当にでっち上げて，ルールの適用をmaximally parallerにすれば微分方程式（系）だよん〜って，ゆってたわけですが，その「たねと仕掛け」はこんなかんじです．計算情報学1を履修するひとは，重複するので触れなかったルンゲクッタ法を学ぶと思いますが．．．もちろん！以上の確率過程系でルンゲクッタを用いることもできます．

今回はここまでです．

締め切りに注意してNUCTから提出してください．

おつかれさまでした